Как найти расстояние между двумя прямыми

В этом видеоуроке я расскажу, как задача о расстоянии между двумя прямыми легко сводится к расстоянию от точки до плоскости. Но для начала напомню несколько фактов из стереометрии.

Пусть скрещивающиеся прямые AB и MN заданы своими направляющими векторами:

Поскольку прямые скрещиваются, векторы AB и MN не коллинеарны. Следовательно, на них можно построить плоскость. Точнее, множество плоскостей, каждая из которых будет параллельна прямым AB и MN .

Одна из таких плоскостей должна содержать прямую AB . Возьмем на ней произвольную точку T и построим вектор BT :

Получили три вектора: AB , MN , BT . Составим из них уравнение плоскости через определитель матрицы. При этом координаты векторов станут строчками нашей матрицы:

[Подпись к рисунку]

Вот и все! Осталось раскрыть определитель — и уравнение плоскости готово. Эта плоскость содержит прямую AB и параллельна прямой MN . Поэтому расстояние между прямыми AB и MN будет равно расстоянию от плоскости до, скажем, точки M . А расстояние L от точки до плоскости считается по формуле:

[Подпись к рисунку]

где ( x , y , z ) — координаты точки, Ax + By + Cz + D = 0 — уравнение плоскости.

А теперь давайте посмотрим, как все это работает на практике:

Как найти расстояние между двумя прямыми

Репетитор по математике и физике

  • +7 (953) 35-222-89
  • Санкт-Петербург, пр. Энергетиков д. 9 к.1
  • Kyziaha@gmail.com

Метод координат (расстояние между точкой и плоскостью, между прямыми)

Расстояние между точкой и плоскостью.

Расстояние между точкой и прямой.

Расстояние между двумя прямыми.

Первое, что полезно знать, это как найти расстояние от точки до плоскости:

Значения A, B, C, D — коэффициенты плоскости

x, y, z — координаты точки

Задача. Найти расстояние между точкой А = (3; 7; −2) и плоскостью 4x + 3y + 13z — 20 = 0.

Все дано, можно сразу подставить значения в уравнение:

Это интересно:  Учет лиц находящихся под диспансерным наблюдением

Задача. Найдите расстояние от точки К = (1; −2; 7) до прямой, проходящей через точки V = (8; 6; −13) и T = (−1; −6; 7).

  1. Находим вектор прямой.
  2. Вычисляем вектор, проходящий через искомую точку и любую точку на прямой.
  3. Задаем матрицу и находим определитель по двум полученным векторам в 1-ом и 2-ом пункте.
  4. Расстояние получим, когда квадратный корень из суммы квадратов коэффициентов матрицы поделим на длину вектора, который задает прямую (Думаю непонятно, поэтому перейдем к конкретному примеру).

1) TV = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) Вектор найдем через точки K и T, хотя так же можно было бы через K и V или любую другую точку на данной прямой.

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) П олучится м атрица без коэффициента D (здесь он не нужен для решения):

Если непонятно, как получить матрицу и ее определитель, смотрите здесь более подробный разбор.

4) Плоскость получилась с коэффициентами А = 80, В = 40, С = 12,

x, y, z — координаты вектора прямой, в данном случае — вектор TV имеет координаты (9; 12; −20)

Задача. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки Е = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1), и прямой, проходящей через точки M = (4; −1; 4), L = (−2; 3; 0).

  1. Задаем векторы обеих прямых.
  2. Находим вектор, взяв по одной точке с каждой прямой.
  3. Записываем матрицу из 3-х векторов (две строчки из 1-го пункта, одна строчка из 2-го) и находим ее численный определитель.
  4. Задаем матрицу из двух первых векторов (в пункте 1). Первую строчку задаем как x, y, z.
  5. Расстояние получим, когда разделим получившееся значение из пункта 3 по модулю на квадратный корень из суммы квадратов пункта 4.

Перейдем к цифрам:

Это интересно:  Полному оформлению подлежат дела

1) EG = (2−1; 2−0; −1−2) = (1; 2; −3)

ML = (−2−4; 3−(−1); 0−4) = (−6; 4; −4)

2) Найдем вектор EM (можно было так же найти EL или GM, или GL).

EM = (1−4; 0−(−1); −2−4) = (−3; 1; −6)

3) Составляем матрицу из трех выше найденных векторов и находим определитель.

4) Составляем матрицу из первых двух выше найденных векторов и находим определитель

без коэффициента D (здесь он не нужен для решения).

Вспомним, что уравнение плоскости задается так:

В нашем случае А = 4, В = 22, С = 16, D = 0.

5) Итоговая формула выглядит так, где L= −86 (из 3 пункта)

Расстояние между 2 прямыми в пространстве

Очень часто на практике необходимо найти расстояние между точкой и некой прямой линией или между двумя прямыми линиями в пространстве, например, иногда определять расстояние между двумя линиями приходится и в реальной жизни. Хорошая иллюстрация такого примера — это знак, который вешают на мосты для грузовиков, указывающий максимальную высоту грузовика, которая может проехать под данным мостом.

Расстояние от верхней грани грузовика и нижней грани в данном случае определяют как расстояние между двумя прямыми.

Расстояние между 2 прямыми в пространстве — это отрезок, соединяющий две прямые линии по наикратчайшему расстоянию между ними, то есть перпендикулярный к обеим прямым.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной заданной прямой и плоскостью, в которой лежит вторая прямая.

Чтобы было чуть проще понять, что это такое, давайте повторим определение скрещивающихся прямых:

Скрещивающиеся прямые — это две прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют каких-либо совместных друг для друга точек.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Соответственно, для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве, необходимо от одной из прямых опустить перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.

Это интересно:  Минимально допустимое расстояние до токоведущих частей

Расстояние же между двумя параллельными прямыми в пространстве является одинаковым на протяжении всей длины параллельных прямых, то есть перпендикуляр, опущенный из одной параллельной прямой на другую, всегда будет одной и той же длины вне зависимости от того, из какой именно точки его опустили.

Метод координат для определения расстояния между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве можно найти используя метод координат, для этого необходимо:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными уравнениями: $d_1$: $frac <2>= frac <-3>= frac<-1>$

Рисунок 1. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве

Для этого воспользуемся следующей формулой:

Сначала найдём смешанное произведение векторов. Для этого найдём точки, лежащие на данных прямых, и их направляющие вектора:

$d_1$: $frac <2>= frac <-3>= frac<-1>$, точка, лежащая на прямой — $M_1$ с координатами $(2;-1;0)$, а направляющий вектор — $overline$ с координатами $(2; -3; -1)$

$d_2$: $begin frac <1>= frac <-2>\ z – 1 = 0 end$, точка, лежающая на прямой — $M_2$ с координатами $(-1; 0; 1)$,

а её направляющий вектор — $overline$ с координатами $(1; -2; 0)$

Теперь найдём вектор $overline$:

Найдём смешанное произведение векторов:

$overline cdot overline cdot overline = begin <

Помогла статья? Оцените её
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars
Загрузка...
Добавить комментарий

Adblock
detector