Как найти расстояние между двумя прямыми
В этом видеоуроке я расскажу, как задача о расстоянии между двумя прямыми легко сводится к расстоянию от точки до плоскости. Но для начала напомню несколько фактов из стереометрии.
Пусть скрещивающиеся прямые AB и MN заданы своими направляющими векторами:
Поскольку прямые скрещиваются, векторы AB и MN не коллинеарны. Следовательно, на них можно построить плоскость. Точнее, множество плоскостей, каждая из которых будет параллельна прямым AB и MN .
Одна из таких плоскостей должна содержать прямую AB . Возьмем на ней произвольную точку T и построим вектор BT :
Получили три вектора: AB , MN , BT . Составим из них уравнение плоскости через определитель матрицы. При этом координаты векторов станут строчками нашей матрицы:
[Подпись к рисунку]
Вот и все! Осталось раскрыть определитель — и уравнение плоскости готово. Эта плоскость содержит прямую AB и параллельна прямой MN . Поэтому расстояние между прямыми AB и MN будет равно расстоянию от плоскости до, скажем, точки M . А расстояние L от точки до плоскости считается по формуле:
[Подпись к рисунку]
где ( x , y , z ) — координаты точки, Ax + By + Cz + D = 0 — уравнение плоскости.
А теперь давайте посмотрим, как все это работает на практике:
Как найти расстояние между двумя прямыми
Репетитор по математике и физике
- +7 (953) 35-222-89
- Санкт-Петербург, пр. Энергетиков д. 9 к.1
- Kyziaha@gmail.com
Метод координат (расстояние между точкой и плоскостью, между прямыми)
Расстояние между точкой и плоскостью.
Расстояние между точкой и прямой.
Расстояние между двумя прямыми.
Первое, что полезно знать, это как найти расстояние от точки до плоскости:
Значения A, B, C, D — коэффициенты плоскости
x, y, z — координаты точки
Задача. Найти расстояние между точкой А = (3; 7; −2) и плоскостью 4x + 3y + 13z — 20 = 0.
Все дано, можно сразу подставить значения в уравнение:
Задача. Найдите расстояние от точки К = (1; −2; 7) до прямой, проходящей через точки V = (8; 6; −13) и T = (−1; −6; 7).
- Находим вектор прямой.
- Вычисляем вектор, проходящий через искомую точку и любую точку на прямой.
- Задаем матрицу и находим определитель по двум полученным векторам в 1-ом и 2-ом пункте.
- Расстояние получим, когда квадратный корень из суммы квадратов коэффициентов матрицы поделим на длину вектора, который задает прямую (Думаю непонятно, поэтому перейдем к конкретному примеру).
1) TV = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)
2) Вектор найдем через точки K и T, хотя так же можно было бы через K и V или любую другую точку на данной прямой.
TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)
3) П олучится м атрица без коэффициента D (здесь он не нужен для решения):
Если непонятно, как получить матрицу и ее определитель, смотрите здесь более подробный разбор.
4) Плоскость получилась с коэффициентами А = 80, В = 40, С = 12,
x, y, z — координаты вектора прямой, в данном случае — вектор TV имеет координаты (9; 12; −20)
Задача. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки Е = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1), и прямой, проходящей через точки M = (4; −1; 4), L = (−2; 3; 0).
- Задаем векторы обеих прямых.
- Находим вектор, взяв по одной точке с каждой прямой.
- Записываем матрицу из 3-х векторов (две строчки из 1-го пункта, одна строчка из 2-го) и находим ее численный определитель.
- Задаем матрицу из двух первых векторов (в пункте 1). Первую строчку задаем как x, y, z.
- Расстояние получим, когда разделим получившееся значение из пункта 3 по модулю на квадратный корень из суммы квадратов пункта 4.
Перейдем к цифрам:
1) EG = (2−1; 2−0; −1−2) = (1; 2; −3)
ML = (−2−4; 3−(−1); 0−4) = (−6; 4; −4)
2) Найдем вектор EM (можно было так же найти EL или GM, или GL).
EM = (1−4; 0−(−1); −2−4) = (−3; 1; −6)
3) Составляем матрицу из трех выше найденных векторов и находим определитель.
4) Составляем матрицу из первых двух выше найденных векторов и находим определитель
без коэффициента D (здесь он не нужен для решения).
Вспомним, что уравнение плоскости задается так:
В нашем случае А = 4, В = 22, С = 16, D = 0.
5) Итоговая формула выглядит так, где L= −86 (из 3 пункта)
Расстояние между 2 прямыми в пространстве
Очень часто на практике необходимо найти расстояние между точкой и некой прямой линией или между двумя прямыми линиями в пространстве, например, иногда определять расстояние между двумя линиями приходится и в реальной жизни. Хорошая иллюстрация такого примера — это знак, который вешают на мосты для грузовиков, указывающий максимальную высоту грузовика, которая может проехать под данным мостом.
Расстояние от верхней грани грузовика и нижней грани в данном случае определяют как расстояние между двумя прямыми.
Расстояние между 2 прямыми в пространстве — это отрезок, соединяющий две прямые линии по наикратчайшему расстоянию между ними, то есть перпендикулярный к обеим прямым.
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной заданной прямой и плоскостью, в которой лежит вторая прямая.
Чтобы было чуть проще понять, что это такое, давайте повторим определение скрещивающихся прямых:
Скрещивающиеся прямые — это две прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют каких-либо совместных друг для друга точек.
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Соответственно, для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве, необходимо от одной из прямых опустить перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.
Расстояние же между двумя параллельными прямыми в пространстве является одинаковым на протяжении всей длины параллельных прямых, то есть перпендикуляр, опущенный из одной параллельной прямой на другую, всегда будет одной и той же длины вне зависимости от того, из какой именно точки его опустили.
Метод координат для определения расстояния между скрещивающимися прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве можно найти используя метод координат, для этого необходимо:
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными уравнениями: $d_1$: $frac
Рисунок 1. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве
Для этого воспользуемся следующей формулой:
Сначала найдём смешанное произведение векторов. Для этого найдём точки, лежащие на данных прямых, и их направляющие вектора:
$d_1$: $frac
$d_2$: $begin
а её направляющий вектор — $overline
Теперь найдём вектор $overline
Найдём смешанное произведение векторов:
$overline